תחי ישראל - אין לנו ארץ אחרת

תחי ישראל -אין לנו ארץ אחרת

תמורות ושילובים בתורת הצירופים

 

מחבר:
בתאריך:

האופנים לסידור פריטים כוללים:

  • תמורה פרמוטציה כשהסדר לא חשוב.
  • שילוב קומבינציה כשהסדר חשוב.

Comparison between permutations and combinations. The 2 are related but with combinations we need to exclude the duplicates

 

תמורות (פרמוטציות)

תמורה (פרמוטציה) היא מספר הדרכים לסידור פריטים כשהסדר לא חשוב.

לדוגמה, אם עומדות לרשותנו האותיות A ו-B בלבד ניתן לסדר אותם בשני אופנים כאשר הסדר לא חשוב:

A B
B A
  • 2 אופני סידור = 2 תמורות (פרמוטציות)

אם עומדות לרשותנו האותיות A, B, C אז ניתן לסדר אותם ב-6 אופנים שונים:

A B C
A C B
B A C
B C A
C A B
C B A
  • 6 אופנים לסדר 3 פריטים = 6 תמורות (פרמוטציות)

 

את מספר הפרמוטציות מוצאים באמצעות עצרת!

לדוגמה, כמה דרכים שונות קיימות לסידור 4 פריטים? התשובה היא 4 עצרת:

4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24
  • בשביל לחשב עצרת לוקחים את המספר 4 וכופלים אותו בכל המספרים הקטנים ממנו עד שמגיעים ל-1.

לדוגמה n עצרת:

n! = n * (n-1) * (n-2) * … * 1
  • מכפלת כל המספרים השלמים מ-1 עד n כולל.

לדוגמה, 2 עצרת:

2! = 2 * 1 = 2
  • כאשר 2 הוא מספר התמורות בהם ניתן לסדר 2 פריטים.

לדוגמה, 3 עצרת:

3! = 3 * 2 * 1 = 6
  • כאשר 6 הוא מספר התמורות בהם ניתן לסדר 3 פריטים.

עוד דרך להסתכל על זה היא שיש 3 אפשרויות סידור עבור המקום הראשון, 2 עבור השני, ומה שנשאר זה רק 1 עבור המקום השלישי:

3 * 2 * 1 = 6
  • עבור האות הראשונה יש 3 אפשרויות, עבור האות השנייה רק 2, ועבור האות השלישית נותרת אפשרות 1.

 

נוח להבין את זה אם משתמשים בדיאגרמת עץ:

permutations tree with 3 items

  • כשעוברים לאורך הענפים מלמעלה למטה רואים 6 ענפים כמספר האפשרויות שגם הוא 6.

 

נסכם, !n (עצרת) משמש לחישוב מספר כל התמורות (כל אפשרויות הסידור) של n פריטים. לדוגמה, סידור 3 פריטים.

 

בוא נסבך את זה אבל רק קצת.

כמה תמורות (פרמוטציות) נדרשות לסידור מילים בנות 2 אותיות מתוך 3 אותיות?

אפשר לכתוב את זה כך:

nPr
  • איך קוראים את זה? מתוך n פריטים בחר r.

לדוגמה, מתוך 3 אפשרויות בחר 2:

3P2

 

וכל זה היה הכנה להצגת הנוסחה לחישוב מספר הפרמוטציות:

permutations formula

 

נציב בנוסחה את n מספר הפריטים הכולל (3) ואת r מספר הפריטים המבוקש (2), ונקבל:

calculating the number of permutations when picking 2 out of 3 items

  • נראה שיש 6 דרכים שונות לסדר מילים בנות 2 אותיות מ-3 אותיות אפשריות.

נוודא את התוצאה:

Permutations tree when picking 2 out of 3 items

CA
CT
AC
AT
TA
TC
  • בסה"כ 6 ענפים המהווים 6 תמורות שונות לסידור מילים בנות 2 אותיות מ-3 אותיות אפשריות.

אמרנו שהסדר לא חשוב במקרה של תמורות (פרמוטציות) אפשר לראות את זה בדוגמה של מספר האופנים לסידור A ו-B:

A B
B A
  • לשתי המילים AB ו-BA אותו הרכב אבל בגלל שהסדר לא חשוב הם נחשבות לתמורות (פרמוציות) שונות של אותם 2 אותיות.

 

אפשר להשתמש בנוסחה לחישוב התמורה כשרוצים לחשב את מספר האפשרויות לסידור n פריטים מתוך אותו מספר n של פריטים. לדוגמה: כמה תמורות ישנם לסידור 3 פריטים?

3P3=3!/(3-3)!=6

  • שימו לב! אפס עצרת !0 שווה ל-1

 

חידות מילים ואותיות

כמה אפשרויות שונות קיימות לסידור האותיות במילה "שמש"?

 

  1. בגלל שיש 3 אותיות : !3
  2. בגלל שהאות "ש" חוזרת פעמיים נצמצם את מספר האפשרויות ב-!2

נחשב:

3! divide by 2! to exclude the duplicates in letters

  • למה לצמצם ב-!2? כי זה לא משנה באיזה "ש" משתמשים ראשונה או שנייה שתיהם מביאות לאותה תוצאה.

 

נראה בעיה נוספת.

כמה תמורות יש לסידור האותיות במילה "אספסופ"?

  

  1. בגלל שיש 6 אותיות: !6
  2. בגלל שהאות "ס" חוזרת פעמיים נצמצם ב-!2.
  3. בגלל שהאות "פ" חוזרת פעמיים נצמצם ב-!2.

3! divide by 2!*2! to exclude the duplicates in letters

 

שילובים (קומבינציות)

שילוב (קומבינציה) הוא מספר הדרכים לסידור פריטים כשהסדר חשוב.

לדוגמה, אם עומדות לרשותנו האותיות A ו-B בלבד ניתן לשלב אותם באופן 1 בלבד כאשר הסדר חשוב. התוצאה תהיה השילוב (קומבינציה):

A B
  • מדוע? בגלל ש-AB ו-BA הם אותו שילוב.

את אותו דבר אפשר לראות במקרה של 3 פריטים:

Compare permutations to combinations when choosing 2 items out of 3 the result is 6 permutations and only 3 combinations

  • אחרי צמצום הכפילויות נשארנו עם 3 קומבינציות במקום 6 פרמוטציות.

בגלל שאנחנו רוצים להסיר את הכפילויות הנוסחה לחישוב שילובים תהיה:

Combinations formula

  • הנוסחה מאוד דומה לחישוב תמורה מלבד החלוקה ב-!r כדי לצמצם את האפשרויות.

Combinations vs Permutations formula. The number of combinations should be reduced by r! the number of items to choose

 

לדוגמה, נחשב את מספר השילובים (קומבינציות) לבחירת 2 פריטים מתוך 3:

3C2=3!/((3-2)!*2!)=3

  • !1 זה 1
  • את !3 אפשר לכתוב כ-3*2!
  • את !2 מבטלים כי הם נמצאים במונה ובמכנה

 

נסכם

במקרה של תמורות (פרמוטציות) הסדר משנה אולם במקרה של שילובים (קומבינציות) הסדר אינו משנה. זה חשוב כדי שנדע באיזה צורת חישוב להשתמש עבור המקרים השונים.

הנוסחה לחישוב מספר התמורות (פרמוטציות):

permutations formula

הנוסחה לחישוב מספר השילובים (קומבינציות):

combinations formula

 

חידות

מתוך 10 שכנים אנחנו רוצים לבחור 3 שחקנים לנבחרת הקט-רגל של הבניין. כמה אפשרויות בחירה יש לנו?

השאלה הראשונה שאנחנו צריכים לשאול היא האם הסדר משנה. במקרה זה, הסדר אינו משנה. כי השחקנים שווים אחד לשני. זה לא משנה אם בחרנו את אותו שחקן ראשון, שני או שלישי כל עוד הוא נכנס לנבחרת. מכאן שהסדר לא משנה. וכשהסדר אינו משנה נחשב את מספר השילובים באמצעות הנוסחה לחישוב קומבינציות:

10 choose 3 combinations

 

מתוך 10 אנשים אנחנו רוצים לבחור: מנהל, סגן ראשון וסגן שני. כמה אפשרויות בחירה יש לנו?

השאלה הראשונה שאנחנו צריכים לשאול היא האם הסדר משנה. וכן הסדר משנה כיוון שאם בחרנו נשיא אנחנו לא יכולים לבחור נשיא נוסף. ומכיוון שהסדר משנה נשתמש בנוסחה לחישוב תמורות פרמוטציות:

10 pick 3 permutations

 

חישוב הסיכוי לזכייה בלוטו

אחרי שהבנו מה זה קומבינציות ואיך ניתן לחשב אותם אנחנו יכולים להשתמש בידע כדי לחשב את סיכויי הזכייה בלוטו.

אם יש 37 מספרים מתוכם צריך לבחור 6 כשהסדר לא חשוב הסיכוי לבחור נכונה על פי הנוסחה לחישוב שילובים (קומבינציות) הוא :

israeli lottery number of combinations with 37C6

בנוסף, צריך לבחור מספר חזק 1 מתוך 7 אז נכפיל את התוצאה פי 7:

israeli lottery number of combinations with 37C6 and 1 out of 7 power ball

  • המסקנה היא שהסיכוי לזכייה בלוטו בהנחה שצריך לבחור 6 מספרים מתוך 37, ובנוסף צריך לבחור 1 מתוך 7 מספרים הוא 1 ל- 16,273,488

 

במקום סיכום

שתי השאלות הבאות יעשו סדר בראש.

 

עליך לבחור את 3 השירים האהובים עליך ביותר לפי סדר מהאהוב ביותר ומטה מתוך רשימה של 10 שירים.

האם הסדר משנה? ודאי! אם כך נשתמש בנוסחת הפרמוטציה:

10P3 number of permutations

 

כמה אפשרויות יש לבחירת 3 שירים מרשימה של 10 שירים?

האם הסדר משנה? לא! אם כך נשתמש בנוסחת הקומבינציה:

10C3 number of combinations

 

 

 

אהבתם? לא אהבתם? דרגו!

0 הצבעות, ממוצע 0 מתוך 5 כוכבים

 

 

המדריכים באתר עוסקים בנושאי תכנות ופיתוח אישי. הקוד שמוצג משמש להדגמה ולצרכי לימוד. התוכן והקוד המוצגים באתר נבדקו בקפידה ונמצאו תקינים. אבל ייתכן ששימוש במערכות שונות, דוגמת דפדפן או מערכת הפעלה שונה ולאור השינויים הטכנולוגיים התכופים בעולם שבו אנו חיים יגרום לתוצאות שונות מהמצופה. בכל מקרה, אין בעל האתר נושא באחריות לכל שיבוש או שימוש לא אחראי בתכנים הלימודיים באתר.

למרות האמור לעיל, ומתוך רצון טוב, אם נתקלת בקשיים ביישום הקוד באתר מפאת מה שנראה לך כשגיאה או כחוסר עקביות נא להשאיר תגובה עם פירוט הבעיה באזור התגובות בתחתית המדריכים. זה יכול לעזור למשתמשים אחרים שנתקלו באותה בעיה ואם אני רואה שהבעיה עקרונית אני עשוי לערוך התאמה במדריך או להסיר אותו כדי להימנע מהטעיית הציבור.

שימו לב! הסקריפטים במדריכים מיועדים למטרות לימוד בלבד. כשאתם עובדים על הפרויקטים שלכם אתם צריכים להשתמש בספריות וסביבות פיתוח מוכחות, מהירות ובטוחות.

המשתמש באתר צריך להיות מודע לכך שאם וכאשר הוא מפתח קוד בשביל פרויקט הוא חייב לשים לב ולהשתמש בסביבת הפיתוח המתאימה ביותר, הבטוחה ביותר, היעילה ביותר וכמובן שהוא צריך לבדוק את הקוד בהיבטים של יעילות ואבטחה. מי אמר שלהיות מפתח זו עבודה קלה ?

השימוש שלך באתר מהווה ראייה להסכמתך עם הכללים והתקנות שנוסחו בהסכם תנאי השימוש.

הוסף תגובה חדשה

 

 

ענה על השאלה הפשוטה הבאה כתנאי להוספת תגובה:

מהם שלוש רשויות השלטון בישראל?