תחי ישראל - אין לנו ארץ אחרת

תחי ישראל -אין לנו ארץ אחרת

שליף לוגיקה פורמלית - formal logic cheatsheet

מחבר:
בתאריך:

Inference Rules

Propositional Inference Rules

Rule Symbolized Explanation
Conjunction Introduction &I From P, Q, conclude P & Q
Conjunction Elimination &E From P & Q, conclude P or Q
Disjunction Introduction ∨I From P, conclude P ∨ Q
Disjunction Elimination ∨E aka Constructive Dilemma
Conditional Elimination →E aka Modus Ponens; From P → Q, P, conclude Q
Conditional Introduction →I Hypothesize the antecedent then derive the conclusion
Negation Introduction ~I Hypothesize P, then show through RAA that it is not possible

Predicate Inference Rules

Rule Symbolized Explanation
Universal Elimination ∀E From ∀xFx, conclude Fa
Universal Introduction ∀I From Fa, conclude ∀xFx, provided
  1. a is representative of the domain
  2. a is not an active assumption
  3. a is not in the conclusion
Existential Elimination ∃E From ∃xFx, hypothesize Fa
  1. a must be unused previously
  2. a is not in the conclusion
Existential Introduction ∃I From Fa, conclude ∃xFx
Identity Introduction =I Assert a = a at any line
Identity Elimination =E If a = b, replace a with b

 

Proof Strategies

Strategy How to?
Atomic Formula Hypothesize the negation of the conclusion, reach a contradiction (RAA), then apply ~I and ~E.
Negated Formula Hypothesize the formula without the negation and derive a contradiction to conclude with ~I.
Conjunction Prove each conjunct separately, then conjoin with &I.
Disjunction
  1. Prove one of the disjuncts, then apply ∨I.
  2. If (1) fails, try Reductio Ad Absurdum (RAA).
Conditional Hypothesize the antecedent and show the consequent follows (→I).
Biconditional Use two conditionals.
Nothing works? If a premise is a disjunction, try Constructive Dilemma (CD).
Nothing works? Add a hypothesis whose negation, via RAA, would support the proof.

 

Derived Rules

Rule How to?
Reiteration From P, conclude P
Contradiction From P, ~P, conclude any well-formed formula (WFF)
Modus Tollens From P → Q, ~Q, conclude ~P
Absorption From P → Q, conclude P → (P & Q)
Hypothetical Syllogism From P → Q, Q → R, conclude P → R
Disjunctive Syllogism From P ∨ Q, ~P, conclude Q
Constructive Dilemma From P ∨ Q, P → R, Q → S, conclude R ∨ S

 

Equivalences

Equivalence Explanation
Double Negation P ↔ ~~P
Tautology P ↔ (P & P) or P ↔ (P ∨ P)
Material Implication (P → Q) ↔ (~Q → ~P)
Transposition (P → Q) ↔ (~Q → ~P)
Exportation ((P & Q) → R) ↔ (P → (Q → R))
De Morgan’s Laws ~(P ∨ Q) ↔ (~P & ~Q)
~(P & Q) ↔ (~P ∨ ~Q)
Commutation (P ∨ Q) ↔ (Q ∨ P)
(P & Q) ↔ (Q & P)
Distribution (P & (Q ∨ R)) ↔ ((P & Q) ∨ (P & R))
(P ∨ (Q & R)) ↔ ((P ∨ Q) & (P ∨ R))
Association ((P ∨ Q) ∨ R) ↔ (P ∨ (Q ∨ R))
((P & Q) & R) ↔ (P & (Q & R))

 

Quantifier Exchange (QE)

Equivalence
∀xFx ↔ ~∃x~Fx
~∀xFx ↔ ∃x~Fx
∀x~Fx ↔ ~∃xFx
~∀x~Fx ↔ ∃xFx

Examples

Prove: P → Q ⊢ ~P V Q (Material Implication)

1 P→Q            Premise
2 | ~(~PVQ)      Hypothesis for ~I (Negation Introduction)
3 | ~~P&~Q       2 DM (De Morgan's Law)
4 | ~~P          3 &E (Conjunction Introduction)
5 | P            4 ~E (Negation Elimination)
6 | ~Q           3 &E
7 | Q            1,5 MP (Modus Ponens)
8 | Q&~Q         6,7 &I (Conjunction Introduction)
9 ~~(~PVQ)       2-8 ~I
10 ~PVQ          9 ~E

 

אהבתם? לא אהבתם? דרגו!

0 הצבעות, ממוצע 0 מתוך 5 כוכבים

 

 

המדריכים באתר עוסקים בנושאי תכנות ופיתוח אישי. הקוד שמוצג משמש להדגמה ולצרכי לימוד. התוכן והקוד המוצגים באתר נבדקו בקפידה ונמצאו תקינים. אבל ייתכן ששימוש במערכות שונות, דוגמת דפדפן או מערכת הפעלה שונה ולאור השינויים הטכנולוגיים התכופים בעולם שבו אנו חיים יגרום לתוצאות שונות מהמצופה. בכל מקרה, אין בעל האתר נושא באחריות לכל שיבוש או שימוש לא אחראי בתכנים הלימודיים באתר.

למרות האמור לעיל, ומתוך רצון טוב, אם נתקלת בקשיים ביישום הקוד באתר מפאת מה שנראה לך כשגיאה או כחוסר עקביות נא להשאיר תגובה עם פירוט הבעיה באזור התגובות בתחתית המדריכים. זה יכול לעזור למשתמשים אחרים שנתקלו באותה בעיה ואם אני רואה שהבעיה עקרונית אני עשוי לערוך התאמה במדריך או להסיר אותו כדי להימנע מהטעיית הציבור.

שימו לב! הסקריפטים במדריכים מיועדים למטרות לימוד בלבד. כשאתם עובדים על הפרויקטים שלכם אתם צריכים להשתמש בספריות וסביבות פיתוח מוכחות, מהירות ובטוחות.

המשתמש באתר צריך להיות מודע לכך שאם וכאשר הוא מפתח קוד בשביל פרויקט הוא חייב לשים לב ולהשתמש בסביבת הפיתוח המתאימה ביותר, הבטוחה ביותר, היעילה ביותר וכמובן שהוא צריך לבדוק את הקוד בהיבטים של יעילות ואבטחה. מי אמר שלהיות מפתח זו עבודה קלה ?

השימוש שלך באתר מהווה ראייה להסכמתך עם הכללים והתקנות שנוסחו בהסכם תנאי השימוש.

הוסף תגובה חדשה

 

 

ענה על השאלה הפשוטה הבאה כתנאי להוספת תגובה:

מהם שלוש רשויות השלטון בישראל?